Grünwald-Letnikov Fractional Derivative Applied to First-Order Ordinary Differential Equations

Resumo

As equações diferenciais ordinárias (EDOs) de primeira ordem são amplamente utilizadas em diversas áreas da ciência e engenharia para modelar fenômenos naturais. Este trabalho propõe uma extensão dessas equações utilizando derivadas fracionárias, em particular a definição de Grünwald-Letnikov, para explorar seu impacto no comportamento das curvas de soluções. A EDO fracionária considerada é discretizada pelo método das diferenças finitas e resolvida numericamente para diferentes valores da ordem da derivada α). Testes foram realizados com o intuito de verificar a independência de malha e a qualidade da implementação computacional do método, por meio dos quais foi possível verificar a precisão e a inexistência de erros de implementação. O comportamento das curvas de solução para diferentes valores de α foi analisado, revelando um decrescimento acentuado próximo ao ponto inicial (t = 0) e um crescimento quase linear em valores mais altos de t, no domínio considerado. Adicionalmente, na solução de um problema de valor inicial específico, com solução analítica conhecida, foi verificado que a precisão das soluções numéricas para valores maiores de α mostrou-se mais dependente do refinamento da malha do que as soluções para valores menores.